内田 7章 位相的性質
§21 分離公理
$ \forall A,B\in\mathcal C:A\cap B=\varnothing\implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}A\subseteq U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}
このとき位相$ \mathcal Oは正規であるという $ \forall a\in X\forall B\in\mathcal C:a\notin B\implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}
つまり
ということか
逆に言うと、一般の位相空間では複数の元が収束先になることがある
問21.1
定理21.1 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて以下はどれも同値である 2. 直積位相空間$ (X^2,\mathcal O^2)と対角線集合$ \Delta:=\{(x,y)\in X^2\mid x=y\}にて$ \Delta\in\mathcal C 3. $ \forall x\in X:\bigcap(\mathcal N(x)\cap\mathcal C)=\{x\}
定理21.2 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ (X,\mathcal O)が正規空間である$ \iff\forall O\in\mathcal O\forall C\in\mathcal C\cap2^O\exist U\in\mathcal O:C\subseteq U\land\overline U\subseteq O 定理21.3 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ (X,\mathcal O)が正則空間である$ \iff\forall x\in X:\mathcal N(x)\cap\mathcal C\in\mathscr N^*(x) 問21.4
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、$ \forall x\in X:\{x\}\in\mathcal Cとなるとき、$ (X,\mathcal O)を$ T_1空間という またこのときの$ \mathcal OをT1位相という 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)と$ f:X\to\Rにて、$ fが$ (X,\mathcal O)から$ (\R,\mathcal O_\R)($ \mathcal O_\R：$ \Rの通常の位相)への連続写像であるとき、$ fを$ (X,\mathcal O)上の実連続函数という 任意の正規空間$ (X, \mathcal O)にて、 $ \forall A,B\in\mathcal C\setminus\{\varnothing\}:A\cap B=\varnothing\implies\exist f:X\to[0,1]:
$ \begin{dcases}f\text{は実連続函数}\\f^\to(A)=\{0\}\\f^\to(B)=\{1\}\end{dcases}
§22. コンパクト性
$ \forall X\forall A\in2^X\forall\mathcal B\in2^{2^X}\forall\mathcal B'\in2^{\mathcal B}にて、$ \mathcal B,\mathcal B'がともに$ Aの被覆 (集合)であるとき、$ \mathcal B'を$ \mathcal Bの部分被覆であるという $ \mathcal O'は$ Aの開被覆である$ :\iff\mathcal O'\subseteq\mathcal O\land A\subseteq\bigcup\mathcal O' 位相$ \mathcal Oの部分集合で$ Aを被覆 (集合)できるということ $ \forall X\forall\mathcal O\in\mathscr O_X\forall A\in2^Xにて、$ Aの任意の開被覆が有限な部分被覆を持つとき、$ Aをcompact集合と呼ぶ $ \forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:A\subseteq\bigcup\mathcal O'\implies\exist n\in\N\exist O:\N_{\le n}\to\mathcal O':A\subseteq\bigcup O^\to(\N)と表せる
$ (X,\mathcal O)はcompactであるともいう
例22.3
$ \delta(A):=\sup d^\to(A)
を$ Aの直径という
$ \delta(A)が存在するとき、$ Aは有界であるという 定理22.2 compact空間$ (X,\mathcal O)にて$ \forall C\in\mathcal C:Cはcompact 定理22.3 任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)と連続写像$ f:X\to Yにて、 $ \forall A\in2^X:A\text{はcompact}\implies f^\to(A)\text{は}(Y,\mathcal O_Y)\text{でcompact}
これよくわかってないtakker.icon
全単射連続写像=同相写像じゃないの？